Presentación en VoiceThread Programación Lineal

UNIDAD III ACTIVIDAD 2

ENFOQUE ALGEBRAICO 

DEL MÉTODO SIMPLEX

MAX z=3x₁+2x₂

S.a

x₁+2x₂≤6

2x₁+x₂≤8

-x₁+x₂≤1

x₂≤1

x₁,x₂≥0

MAX z=3x₁+2x₂

S.a

x₁+2x₂+x₃=6                       6 Variables

2x₁+x₂+x₄=8                       4 Restricciones

-x₁+x₂+x₅=1                       4 Variables básicas

x₂+x₆=1                              2 Variables no básicas

x_i≥0 i=1,6

SOLUCIÓN INICIAL

X₁=0           X₄=8

X₂=0           X₅=1

X₃=6           X₆=1

Z=0

Z=3x₁+2x₂                X₁ Tomará el valor positivo

x₃=6-x₁-2x₂              x₃=6-x₁             0=6-x₁

x₄=8-2x₁-x₂              x₄=8-2x₁        0=8-2x₁

x₅=1+x₁-x₂               x₅=1+x₁         0=1+x₁

x₆=1-x₂                     x₆=1

x₃=0              x₁=6              _{Se toma el valor de x1 más chico por lo tanto x4 pasa a ser v. no básica}   

x₄=0              x₁=4               

x₅=0         

Se cambian las ecuaciones dejándolas en función de las v. no básicas x₂ y x₄

Z=12+0.5x₂-1.5x₄          X₂ Tomará el valor positivo

x₃=2-1.5x₂+0.5x₄           x₃=2-1.5x₂

x₁=4-0.5x₂-0.5x₄            x₁=4-0.5x₂

x₅=5-1.5x₂-0.5x₄            x₅=5-1.5x₂

x₆=1-x₂                            x₆=1-x₂                

0=2-1.5x₂                             x₃=0                       x₂=1.3333

0=4-0.5x₂                             x₄=0                       x₂=8

0=5-1.5x₂                           x₅=0                       x₂=3.3333

0=1-x₂                                 x₆=0                       x₂=1

_{Se toma el valor más chico por lo tanto x6 se vuelve no básica y se dejan las ecuaciones en base a x4 y x6}

Z=12.5-1.5x₄-0.5x₆  

x₃=0.5+0.5x₄-1.5x₆ 

x₁=3.5-0.5x₄-0.5x₆          

x₅=3.5-0.5x₄-1.5x₆          

x₆=1-x₆                

_{Como x4 y x6 son negativas ya no nos conviene darle valor positivo ya que disminuirá la z y estamos en un problema de maximización por lo tanto :}

SOLUCIÓN ÓPTIMA

Z=12.5

X₁=3.5        X₄=0

X₂=1           X₅=3.5

X₃=0.5        X₆=0

CONOCIENDO A LOS ALUMNOS

UNIDAD III

INTRODUCCIÓN AL MÉTODO SIMPLEX

 PASOS DEL MÉTODO SIMPLEX

  

1. Transformar a la forma estándar convirtiendo las restricciones <= o >= en igualdades agregando variables de holgura o restando variables de exceso respectivamente.
2. Determinar la solución básica inicial (origen  (0,0)).
3. Seleccionar la variable de entrada de las variables no básicas que al incrementar su valor mejore el valor de z cuando no existe esta situación llegamos a la solución óptima.
4. Seleccionar la variable de salida de las variables básicas actuales.
5. Determinar la nueva solución básica factible al hacer la variable de entrada en básica y la variable de salida en no básica ir al paso 3.

EJEMPLO

Una empresa produce tres bienes cosméticos y tiene dos departamentos con la siguiente información:

Depto	Polvo para mejillas	Labiales	Pintura de uñas	Disponibilidad en hrs.
1	4	2	1	48
2	5	3	1.5	30
Utilidad	60	40	20

Además se cuenta con una materia prima para su empaque de 2 unidades, 1.5 y 0.5 unidades para los tres bienes respectivamente (polvo, labiales y pintura). Teniendo una disponibilidad de 8 unidades.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Xi:Cantidad de i a producir i={polvo para mejillas, labiales y pintura de uñas}

  Max z=60X₁+40X₂+20X₃                                                 

        S.a

           4X₁+2X₂+X₃≤48

          5X₁+3X2+1.5X₃≤30     Restricciones explícitas

           2X₁+1.5X₂+0.5X₃≤8

           X₁,X₂,X₃≥0  Restricciones implícitas

           

FORMA ESTÁNDAR

      

  Max z=60X₁+40X₂+20X₃   

                                                

           z-60X₁-40X₂-20X₃=0

           4X₁+2X₂+X₃+X₄=48

           5X₁+3X2+1.5X₃+X₅=30    

           2X₁+1.5X₂+0.5X₃+X₆=8

           X₁,X₂,X₃,X₄,X₅,X₆≥0 

TABLAS

	z	X1	X2	X3	X4	X5	X6	SOL
Zj-Cj	1	-60	-40	-20	0	0	0	0	RAZÓN
X4	0	4	2	1	1	0	0	48	12
X5	0	5	3	1.5	0	1	0	30	6
X6	0	2	1.5	0.5	0	0	1	8	4

	z	X1	X2	X3	X4	X5	X6	SOL
Zj-Cj	1	0	5	-5	0	0	30	240	RAZÓN
X4	0	0	-1	0	1	0	-2	32	0
X5	0	0	-0.75	0.25	0	1	-2.5	10	40
X1	0	1	0.75	0.25	0	0	0.5	4	16

	z	X1	X2	X3	X4	X5	X6	SOL
Zj-Cj	1	20	20	0	0	0	40	320
X4	0	0	-1	0	1	0	-2	32
X5	0	-1	-1.5	0	0	1	-3	6
X3	0	4	3	1	0	0	2	16

SOLUCIÓN

Z=320
X1=0               X4=32
X2=0               X5=6
X3=16             X6=0

En la solución podemos observar que el producto en el que debemos invertir más es la pintura para uñas con una cantidad de 16 creando una ganancia de $320.00.